Исследование больших систем


Содержание

 

Проблема

     В настоящее время человечество столкнулось с множеством проблем, многие из которых которые не имеют каких-либо аналогов в прошлом: угрозы глобальных экологических и военных катастроф, ставящих под сомнение само существование человечества, глобальное изменение климата в результате человеческой деятельности, развращающее воздействие массовой культуры, выхолащивающей духовные ценности у целых народов, повсеместное распространение различных псевдоучений, оказывающих пагубное воздействие на человеческую личность, всеобщая псевдоинформатизация, приводящая к затоплению человека ненужной и, часто, вредной информацией, глобализация преступности, приводящая к созданию преступных международных синдикатов и многое другое. Причем все эти проблемы существуют не изолированно, сами по себе, а сплетаются в единую сеть, опутывающую все человечество.
    Эти проблемы являются проблемами всей цивилизации, а не отдельного региона или сферы деятельности. Именно сама цивилизация в своем движении и порождает все эти проблемы. А раз так, то для того, что бы найти выход из существующего глобального кризиса необходимо рассмотреть, куда и как движется цивилизация, каковы цели этого движения, какими средствами они достигаются, каким образом возникают существующие проблемы и, самое главное, как должно происходить движение цивилизации для того чтобы найти выход из существующего кризиса и избежать повторения кризиса в будущем.
   Только тогда будет найден правильный выход из существующего кризиса.
    Из всего вышесказанного следует, что насущной проблемой, стоящей перед человечеством, является проблема выбора пути развития всей человеческой цивилизации в целом и определение средств для реализации этого развития.

    Безусловно, такая проблема является междисциплинарной и требует для своего решения усилий специалистов в самых разных областях. 
   Одним из подходов к решению данной проблемы является построение математической  модели цивилизации с целью исследования возможных вариантов ее развития. Однако цивилизация является очень большим объектом, что представляет определенную трудность ее моделирования. 
   Здесь представлено описание метода построения приближенных моделей очень больших систем, который может быть использован для исследования проблем развития цивилизации и других больших систем различной природы Более подробная информация по данной проблеме размещена на сайте
"Исследование больших систем" 

К началу

 

Математическое описание большой системы

 

   Одна из задач исследования систем состоит в построении приближенных зависимостей между различными показателями, описывающими конкретную систему, в целях  прогнозирования их состояния, имитации различных вариантов развития системы, поддержки принятия управленческих решений и т.д. Зависимость между показателями, характеризующими состояние системы, может быть представлена в виде

                                       y=F( x1, …, xn )                                           ( 1 )

где       y,x1, …, xn- показатели, описывающие ситему;
               
F- реальная зависимость между показателями.

    Часто, видимо, существует функциональная связь, слишком сложная для понимания или описания в простых терминах. В таком случае мы можем стремиться подобрать аппроксимацию этой функциональной связи с помощью какой-нибудь простой математической функции (скажем, такой, как полином), которая включает подходящие переменные, и сглаживать или аппроксимировать “ истинную” функцию в определенной ограниченной области изменения этих переменных. 
   Обычно для построения моделей систем, приближенно описывающих реальные зависимости, используется алгебраический многочлен некоторой степени от многих переменных. 
   Однако использование алгебраических многочленов в качестве моделей систем обладает определенными недостатками, следующими непосредственно из аналитического вида алгебраического многочлена.
1. Одной из характерных особенностей рассматриваемых систем является большое количество показателей, поэтому для увеличения адекватности модели необходимо увеличивать число переменных модели и степень алгебраического многочлена. Включение в модель все большего числа переменных увеличивает адекватность описания моделируемого процесса. Но при этом значительно увеличивается число
членов в приближенных зависимостях, так как появляются новые члены многочлена, представляющие собой различные сочетания переменных модели в некоторой степени. Это приводит к значительному увеличению числа коэффициентов, подлежащих определению, поскольку для каждого члена алгебраического многочлена требуется свой коэффициент. Это, в свою очередь, требует увеличения количества исходных данных, необходимых для надежного оценивания коэффициентов, что часто невыполнимо.
   Поэтому при построении приближенных моделей реальных систем стремятся к достижению компромисса между адекватностью модели и имеющимся количеством исходных данных, что приводит к требованию использовать в модели как можно меньшее число переменных.
2. Другая характерная особенность рассматриваемых объектов состоит в большой  изменчивости их структуры. В процессе нормального функционирования различных объектов - города, региона, страны, - возникают новые предприятия, образуются новые экономические связи между предприятиями, изменяется социальный состав населения, изменяется состояние окружающей среды и т.д.. При этом величина временного интервала, на котором зависимость между показателями меняется незначительно, ограничена. Тем самым уменьшается число исходных данных, которые можно корректно использовать для построения моделей систем. Уменьшение количества имеющихся исходных требует уменьшения числа показателей включаемых в модель, что уменьшает адекватность модели.
3. Построение моделей систем в виде алгебраических многочленов основано на предположении независимости переменных системы. Это требование вытекает из аналитического вида алгебраического многочлена в котором переменные являются независимыми. Для реальных социально-экономических, экологических объектов это требование не выполняется. В реальной жизни все переменные изменяются обычно одновременно, т.е. они связаны между собой системой зависимостей.
    При традиционном подходе к построению приближенных зависимостей ослабить или даже “обойти” перечисленные требования невозможно.
   Актуальной задачей, следовательно, является нахождение таких приемов обработки ограниченных массивов числовых данных, которые позволили бы преодолеть упрощенность модельных построений, вытекающую из традиционно используемых методов.
    Многие трудности построения моделей систем в значительной степени связаны с аналитическим видом приближенных моделей. Поэтому возникает задача поиска новых аналитических видов приближенных зависимостей, свободных от указанных выше недостатков.
    В основу подхода к построению нового аналитического вида приближенной зависимости положим тот очевидный факт, что имеющаяся исходная информация используется не полностью. Показатели, описывающие состояние объектов, взаимосвязаны между собой различными зависимостями. Эти взаимозависимости заданы неявно экспериментально полученными сочетаниями численных значений показателей, описывающих систему. Использование же показателей в качестве независимых друг от друга переменных не учитывает совместность существования численных значений показателей, что приводит к потере существенной части информации, содержащейся в исходных данных.
    Поэтому для более полного использования имеющейся информации в качестве приближенной модели необходимо использовать такие аналитические выражения, которые учитывают совместное изменение показателей системы.
    В качестве одного из подходов к решению поставленной задачи будем использовать следующий.
    Будем использовать в качестве приближенной зависимости выражение вида

                                 y=a0+a1*f1 (x)+…am*fm(x)                                             ( 2 )

                             где    
x=( x1, …, xn ) - вектор показателей системы,
                                     
a0,a1,…,am - коэффициенты модели,
                                   
  f1 (x),…,fm(x) - некоторые функции.

   Построение приближенной зависимости в виде (2) имеет значительные преимущества по сравнению с построением приближенной зависимости в виде алгебраического многочлена.
1. Коэффициенты модели относятся не к отдельным показателям, а ко всему вектору показателей. Поэтому их количество уменьшается по сравнению с количеством коэффициентов алгебраического многочлена многих переменных.
2. Вследствие уменьшения количества коэффициентов модели значительно уменьшается количество исходной информации, необходимой для определения коэффициентов модели.
3. Более полно используется информация, содержащаяся в исходных данных, т.к. все показатели используются совместно.
4. Отсутствует искусственное требование независимости переменных модели.
 

К началу

 

Метрический анализ

 

   После того как определен общий подход к построению аналитического вида 
приближенной зависимости, необходимо определить конкретный аналитический
вид этой зависимости и исследовать его возможности для моделирования больших систем. Для решения этой задачи был разработан метрический анализ в полуупорядоченных пространствах.
   Разработка метрического анализа является попыткой решать многомерные задачи как одномерные.   Трудность решения многомерных задач обусловлена наличием многих, а не одной, как в одномерных задачах, переменных, что ведет к усложнению формул, увеличивает трудности их анализа и объем вычислительной работы при численной реализации этих формул по сравнению с одномерным случаем. 
   Основную идею метрического анализа кратко и нестрого можно изложить следующим образом. 
   В основе метрического анализа лежит тот тривиальный факт, что одномерная прямая является одномерной прямой в любом многомерном пространстве, где прямая находится. Многомерная задача рассматриваемая на этой прямой будет выглядеть как одномерная. Если же вместо прямой взять линию не очень отличающуюся от прямой, то полученная многомерная задача будет не очень отличаться от одномерной, будет "примерно" одномерной. Здесь предполагается непрерывная зависимость свойств задачи от той области пространства, где эта задача рассматривается. 
   Однако, как только мы "покидаем" одномерную прямую в задаче сразу появляется многомерность. И хотя такая многомерная задача будет близка по свойствам к одномерной мы сразу же получаем все трудности многомерной задачи.
   Одномерная прямая характеризуется двумя параметрами.

1. Расстоянием от выбранной точки до некоторой фиксированной точки, которая называется началом координат.
2. Направлением - положительным или отрицательным, -на одномерной прямой.
Для того, чтобы решать многомерную задачу как одномерную необходимо рассматривать свойства многомерной задачи в зависимости от некоторого расстояния и некоторого направления.
Поэтому, многомерную задачу будем решать следующим образом.
1. Будем рассматривать свойства задачи в зависимости не от n координат выбранной точки многомерного пространства, а от расстояния от этой точки до некоторой фиксированной точки с. Этой точкой может быть начало координат многомерного пространства или какая-нибудь другая точка, выбранная исходя из условий задачи.
2. В качестве характеристики направления в многомерном пространстве будем использовать отношения порядка в многомерном пространстве. Конкретный вид отношения порядка выбирается исходя из условий постановки задачи. 
    При таком подходе многомерная задача превращается в "примерно" одномерную.
    В основу исследования были положены соответствующе положения и теоремы одномерного анализа, которые затем обобщались для метрических приближений. Иногда эти обобщения были простые и очевидные, иногда они были достаточно не тривиальные.  Тем самым была подтверждена гипотеза о возможности решения многомерных задач как одномерных. 
   Для обеспечения максимальной общности и приложимости полученных результатов решались задачи не приближения функций, а приближения операторов. Аргументом
операторов был не набор скаляров x1, …, xn,  , а вектор x из произвольного векторного пространства X, xÎ X, значением операторов был не скаляр, а вектор y из конечномерного векторного пространства Y, yÎ Y размерности t.
   Рассматривались две конкретные задачи построения аналитического вида приближенной зависимости.
1. Интерполяционное приближение.
2. Равномерного приближения.
   
   Был построен конкретный аналитический вид зависимости – операторные метрические многочлены для равномерного приближения и интерполяционные метрические многочлены Ньютона и Лагранжа для интерполяционного приближения. Был доказан ряд теорем о свойствах построенных метрических приближений.
   Введено понятие метрической производной и метрического интеграла и доказан ряд теорем об их свойствах. С их помощью доказаны теоремы о сходимости равномерного и интерполяционного метрических приближений для операторов целого типа, которые являются операторными аналогами функций целого типа.
   Были проведены численные исследования метрических приближений и показана их высокая эффективность. 
   В данной работе были рассмотрены лишь некоторые достаточно простые вопросы метрического анализа непосредственно связанные с поставленной задачей математического моделирования больших систем. Многие вопросы уже изученные в одномерном анализе остались пока без рассмотрения. 
   Полное изложение результатов исследования метрических приближений представлено в работе "Бабенко С.Н. Метрическое приближение операторов.Краснодар, 1998. 141 с. Деп. В ВИНИТИ 06.07.98 № 2108-B98 "

К началу

 

Число переменных и точность модели

 

   При численном исследовании метрических приближений обнаружена сходимость  приближений при увеличении числа переменных при неизменной степени приближения. Это новый тип сходимости приближений функций многих переменных 
   Это означает, что точность метрических моделей больших систем увеличивается при увеличении числа параметров модели. 
   В настоящее время отсутствует строгая теория, объясняющая сходимость по числу переменных в пространствах функций с разным числом аргументов. Здесь приводится некоторое качественное объяснение.
   В основе объяснения данного явления лежит тот факт, что при уменьшении размера области определения функции многих переменных при постоянном количестве переменных погрешность приближения будет уменьшаться. При численном построении приближения по точкам это имеет место при уменьшении расстояния между точками приближения при постоянном количестве точек приближения.
   Пусть теперь число переменных приближаемой функции многих переменных увеличивается при постоянной степени приближающего метрического многочлена, т.е. увеличивается размерность области определения функции многих переменных. Это означает, что изменяется сама функциональная зависимость. Будем полагать, что дифференциально-разностные свойства функциональной зависимости при этом остаются примерно постоянными. При численном построении м.м. для функций многих переменных с разным числом переменных это условие обеспечивалось неизменностью общего аналитического вида функции.
   При увеличении размерности области определения увеличивается и ее размер, и размер любой ее подобласти. Однако, как известно, в этом случае размер подобласти увеличивается в меньшей степени, чем размер самой области определения. Это приводит к относительному уменьшению подобласти 
определения.
   То же самое имеет место и при построении приближения на конечном множестве точек. При увеличении размерности области определения увеличивается и ее размер, и расстояние между точками приближения. Однако расстояния между точками приближения увеличиваются, вообще говоря, в меньшей степени, чем размеры области определения. Это значит, что происходит относительное уменьшение размера множества точек приближения по сравнению с размером области определения.
   Это и приводит к уменьшению погрешности приближения при постоянной степени приближающего метрического многочлена.  

К началу   

 

Особенности метрического моделирования

 

   Использование метрических приближений для построения приближенных моделей больших систем имеет ряд особенностей.
1. При моделировании больших систем уравнения модели будут содержать большое число переменных. Числовые значения разных переменных могут значительно отличаться друг от друга по порядку величин. Данный же подход к построению моделей предполагает равнозначность всех переменных. Поэтому при построении моделей необходимо масштабировать все переменные таким образом, что бы значения всех переменных принадлежали одному и тому же числовому диапазону.  

2. Все уравнения описывающие систему имеют одинаковый аналитический вид – вид метрического многочлена. Отдельные уравнения могут отличаться друг от друга степенью метрического многочлена и лагом аргумента. Аргументом же всех этих уравнений является один и тот же вектор состояния системы.
3. Малое время построения и одинаковый аналитический вид отдельных уравнений системы позволяет автоматически строить модели систем, содержащие сотни и тысячи уравнений, каждое из которых может содержать сотни и тысячи переменных. 
4. Использование в качестве модели большой системы метрических приближений позволяет использовать для построения модели всю ту имеющуюся в наличии статистическую информацию, которая обычно накапливается в различных организациях. Данный подход не требует определения каких-либо специальных величин.
5. Обнаруженное численно явление сходимости метрических приближений при увеличении числа переменных означает, что в модели нужно использовать как можно больше параметров для обеспечения большей точности и адекватности модели.
6. Использование метрических приближений для построения моделей больших систем радикально уменьшает количество вычислений и объем информации необходимых для построения модели. Так, для построения метрического приближения степени 10 содержащего 4096 переменных потребовалось значения параметров в 12 точках и время построения 35 секунд на компьютере с процессором Pentium 2. При построении приближения в виде алгебраического многочлена степени 10 содержащего 4096 переменных только для однократного сложения коэффициентов алгебраического многочлена суперкомпьютер с суммарной производительностью 10**13 операций/секунду должен был бы работать более     1.1*10  лет.   
7.Метрические приближения открывают совершенно новые возможности в исследовании больших систем самой различной природы. Ведь до настоящего времени исследование очень больших систем было возможно только с использование суперкомпьютеров. А доступ к таким вычислительным возможностям имеют не все исследователи. С использованием аппарата метрических приближений появляется возможность исследования очень больших систем с использованием персональных компьютеров. Тем самым, появляется возможность самых широких и разносторонних исследований глобальных проблем стоящих перед человечеством.
8. Метрические приближения могут эффективно использоваться не только для моделирования больших систем, но и для решения других задач. использующих аппарат теории приближений.

К началу 

 

Автор

 

Бабенко Сергей Николаевич
Информация для контакта.
           Адрес:             Россия, 350058 г.Краснодар, ул. Стасова 145-Б, кв.36
           Телефон:         раб. (8612) 65-11-10, 65-11-18, доп. 446,  дом. (8612) 33-17-21
           E-mail:             babenkosn@yahoo.com

 
К началу